时间之矢

这是一篇咕了很久的博客。一切都要从这篇博文说起，在阅读这篇文章之前，建议先读完链接里的文章。

考虑一个平稳的随机过程，假设我们知道它的现在，那么比较 $n$ 个时刻之前的过去，和 $n$ 个时刻之后的未来，给定现在，过去和未来的条件熵是否相等呢？

在看到这篇文章之时，我的概率论已经大体还给老师了。但我有许多种直觉使我相信，过去与未来不可区分，这样的命题一定为真。

平稳过程则概率分布不变，那么熵守恒；而平稳过程也意味着任意两个时刻的联合概率分布只与时间差有关，那么对于相同久远的过去与未来，联合熵也相同。这样，条件熵自然是相同的了。

时间上的不可逆也并不会破坏时间反演之对称性。假设我们能够根据某个时刻的概率分布推知 $n$ 个时刻之后的概率分布，那么我们一定也能够反演这个过程，得以窥探 $n$ 个时刻之前的概率分布，$g(f(P_X(t), \Delta t), -\Delta t) = P_X(t)$。

譬如我们构造一个平稳马尔可夫链，它有着状态转移矩阵 $M$，那么我们也有沿着时间反向推演的状态转移矩阵 $M^{-1}$。并且对于任意 $n$，都有 $M^{-n} \cdot M^n = \textbf{1}$¹。

矩阵逆的唯一性蕴含了这样的事实：在矩阵乘法运算下，这两个矩阵共享完全一致的信息。它们就像一对纠缠的量子，获知其中一个，那么另外一个便也唯一确定了。而此处的矩阵乘法运算，正是时间的推演。

多么直观、简洁、对称以及美丽！我一直这样相信着：过去与未来于我而言，同样地不可知，唯有此刻才是唯一的真实。

我伫立在此刻，望向未来，无数个我向我挥手：彻夜编码的我、成为海员的我、贩售军火的我、纵身一跃的我；转身回望过去，亦有无数个我向我挥手：称霸不良少年的我、选择了另一所高中的我、吃了奥尔良烤鸡饭团而不是金枪鱼饭团的我，所有不同的我，因为各种阴差阳错抵达此刻。

我无法区分，无法辨认。记忆会丢失、被美化、被篡改，连同过去所留下的各种痕迹一起消逝。过去的已经过去了，正如未来还没有到来。通向未来有无数多种可能，那么时间的箭头反转，这样的不确定性同样对称地对过去生效。我们只有从过去留下的种种证据推测过去的样貌，然而笼罩在过去上的迷雾同未来一样，离得越远便越模糊，使我不得窥见历史的真貌。

...宇宙当真是这样运行的吗？

时刻与时刻之间存在着密切的联系，没有哪一刻是独立存在的。

直到我读到这里才恍然大悟：对过去进行的采样被记录到宇宙之中，这些信息构成了现在的一部分——每一刻都是整个宇宙的历史之和。

即使记忆丢失、痕迹消逝，过去也并未消失，而是以别的形式永久地存在于时间箭头的前方。我能在此刻思考，因而此刻的我可以排除掉所有我夭折的过去、否定父母相互错过的历史。回溯过往远比洞见未来容易，亦是因为当下蕴含着曾发生过的一切。

时间之矢化为有形，指向尚未探索过的前方将来。而我终于可以说出这样的话

正因为我做了这些努力，我才有今天的成就，而我的未来还有无穷的可能。